Sejarah Bilangan Prima

1. Pendahuluan

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor, yaitu satu dan bilangan itu sendiri. Bilangan asli lebih dari satu dan bukan prima disebut “composite numbers”. Hal yang membuat bilangan prima ini berbeda adalah tidak adanya pola terhadap kemunculannya, bisa dikatakan bilangan ini muncul secara acak. Jadi, cukup sulit untuk menentukan suatu bilangan adalah prima atau bukan. Jika saja bilangan prima muncul setiap dua puluh empat angka, akan sangat mudah untuk menentukannya. Oleh karena itu, setiap angka harus diperiksa untuk menentukan apakah bilangan tersebut prima atau bukan.

  

     2.  Garis Waktu Bilangan Prima

• Permulaan

Beberapa orang menduga bahwa manusia telah mengenal bilangan prima sekitar 8000 tahun yang lalu. Hal ini terkait dengan penemuan tulang Ishango di Afrika oleh para arkeolog, pada tulang tersebut terdapat tiga kolom takik. Pada satu kolom terdapat bilangan prima antara 10 sampai dengan 20. Beberapa ahli sejarah lainnya berpendapat bahwa takik pada tulang tersebut hanya sebuah catatan tanggal dan secara tidak sengaja berupa bilangan prima.

Tulang Ishango

Dari semua keraguan tersebut, satu hal yang pasti bahwa masyarakat pertama yang mempelajari bilangan prima ini secara lebih mendalam adalah masyarakat Yunani Kuno. Seperti yang kita ketahui Yunani Kuno memiliki kemajuan dalam ilmu pengetahuan. Mereka banyak berpikir tentang sains, termasuk matematika. Pada saat itu mereka mempelajari bahwa ada bilangan yang tidak dapat dibagi lagi dan bilangan tersebut merupakan dasar dari banyak bilangan artinya setiap bilangan dapat terbentuk dari perkalian bilangan-bilangan tersebut, bilangan tersebut adalah bilangan prima.

• 325 SM  - Euclid

Euclid membuktikan bahwa bilangan prima memiliki jumlah yang tidak terbatas. Euclid juga membuktikan teorema dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya 6936 = 2³ x 3¹ x 17²  ; 1200= 2⁴ x 3¹ x 5²  adalah dua contoh bilangan yang memenuhi teorema bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima.

•   276BC – Eratosthenes  

Eratosthenes menciptakan metode untuk menemukan bilangan prima yang disebut dengan “The Sieve of Eratosthenes” atau dalam Bahasa “Saringan Eratothenes”. Contohnya,

untuk menemukan bilangan prima lebih kecil atau sama dengan 30, prosesnya adalah sebagai berikut:

• 1588 – Mersenne 

            Seorang biarawan dari Perancis bernama Marinne Mersenne mengemukakan sebuah formula yang kini disebut “Mersenne Number” atau “Angka Mersenne” yaitu, M_p = 2^p – 1 (dua pangkat p dikurang 1) merupakan sebuah bilangan prima. Sebagai contoh, 2² - 1= 3 adalah prima, 2³ - 1 = 7 adalah prima, 2⁵ - 1 = 31 adalah prima, dan seterusnya. Faktanya, matematikawan telah membuktikan bahwa Mersenne number dapat berupa bilangan prima jika eksponennya adalah bilangan prima. Namun, tidak semuanya dapat menghasilkan bilangan prima, contohnya, 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 adalah bukan prima. Bilangan prima  Mersenne terkecil adalah 2 dan bilangan prima Mersenne terbesar yang telah diketahui adalah 2^43,112,609 – 1.

• 1601 – Fermat

Perkembangan penting berikutnya dilakukan oleh Fermat pada awal abad ke-17. Ia menyatakan bahwa p adalah prima maka untuk setiap bilangan bulat a kita mendapatkan a^p = a modulo p atau lebih jelasnya, p|a^p- a (p dapat membagi a^p- a tanpa sisa) . Misalnya: 

2³ – 2 = 6  ,  ³|₆   (3 dapat membagi 6 tanpa sisa)

 3⁵ – 3 = 240  ,  ⁵|₂₄₀ (5 dapat membagi 240 tanpa sisa)

 4⁷ – 4 = 16380  ,   ⁷|₁₆₃₈₀ (16380 habis dibagi 7)

Namun, tidak semua angka dapat memenuhi formula ini, contohnya, 341 bukan bilangan prima karena 31x11=341, tetapi 2³⁴¹ - 2 dapat dibagi 341.

Fermat menulis surat kepada matematikawan lain pada masanya, yaitu Marin Mersenne. Pada salah satu dari surat yang ia kirimkan, Fermat mengemukakan bahwa bilangan yang dihasilkan dari 2ⁿ + 1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dari 2 atau dapat dinyatakan sebagai:   

Bilangan yang dihasilkan dari rumus tersebut disebut “Fermat Numbers” atau “Fermat Prime”. Namun, hal tersebut tidak sampai 100 tahun kemudian karena Euler menunjukan pada kasus berikutnya yaitu n=5, 2³² + 1 = 4294967297 dapat dibagi 641 dan bukan prima.

•  1777-  Gauss 
  
  Tabel berikut menunjukan bilangan prima kurang dari 100:

 

• Gauss mempelajari kepekatan Bilangan Prima. Dia menemukan hubungan antara sebuah bilangan dengan jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tersebut. Dia mengemukakan: Π(x)≈ x/log x, sehingga, 
  .Pernyataan tersebut dikenal sebagai Teorema Bilangan Prima. Seperti ditunjukan pada tabel berikut:
  

  
  

• Aplikasi

Saat ini bilangan prima memiliki beberapa aplikasi, terutama pada proses pengkodean dengan komputer. Salah satunya adalah enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut.

• Kesimpulan
  Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan ini memiliki keistimewaan, yaitu tidak adanya pola yang mengatur kemunculannya, bilangan prima ini nampak muncul secara acak. Masyarakat pertama yang diketahui telah mempelajari bilangan ini secara lebih mendalam adalah para matematikawan dari Yunani Kuno. Selain itu, banyak ahli matematika yang telah mencoba untuk mengungkap misteri dari bilangan ini pada abad modern. Saat ini bilangan prima diaplikasikan pada komputer dalam hal pengkodean. Selain itu, pencarian bilangan prima terbesar masih terus dilakukan.
   

References

Rossen, Kenneth H. 1988. Elementary Number Theory and Its Applications. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company

www.wikipedia.org

www.hackingtheuniverse.com

www.mactutor.com

 

Note: sebenarnya masih ada tentang Euler setelah Fermat, tapi karena ada kesalahan teknis, semua data yang sudah susah payah dicari hilang. Selain itu, masih ada sumbernya lagi, namun lagi-lagi karena masalah teknis jadi tidak bisa ditampilkan semua.